Изчисляването на комутатора на два елемента в директен продукт от групи е основна концепция в теорията на групата с широки приложения в различни области, включително физика, инженерство и компютърни науки. Като доставчик на комутатор, аз съм добре - запознат с теоретичните аспекти на комутаторите и тяхното практическо значение. В този блог ще ви преведа през процеса на изчисляване на комутатора на два елемента в директен продукт от групи.
Разбиране на основите
Преди да се задълбочим в изчислението, нека първо изясним някои ключови понятия. Група (G) е набор, оборудван с двоична операция (\ CDOT), която удовлетворява четири аксиоми: затваряне, асоциираност, съществуване на елемент на идентичност и съществуване на обърнати за всеки елемент. Директният продукт на две групи (G_1) и (G_2), обозначен като (G_1 \ Times G_2), е нова група, чиито елементи са подредени двойки ((G_1, G_2)), където (G_1 \ в G_1) и (G_2 \ в G_2). Груповата операция в (G_1 \ Times G_2) е дефинирана компонент - мъдър: ((G_1, G_2) \ CDOT (H_1, H_2) = (G_1 \ CDOT H_1, G_2 \ CDOT H_2)) за всички ((G_1, G_2), (H_1, H_2) \ in G_1 \ times G_2).
Комутаторът на два елемента (a) и (b) в група (g) се определя като ([a, b] = a^{-1} b^{-1} ab). Комутаторът измерва докъде е групата от Абелиан (комутативен). Ако ([a, b] = e) (елемент на идентичност на групата) за всички (a, b \ в g), тогава групата (g) е абелиан.
Изчисляване на комутатора в директен продукт от групи
Нека (g = g_1 \ times g ge) е директният продукт на две групи (g_1) и (g_2) и нека (x = (x_1, x_2))) и (y = (y_1, y_2)) са два елемента от (g), където (x_1, y_1 \ в g_1) и (x_2, y_2 \ in g_2).
Първо, трябва да намерим обърнатата на (x) и (y). Обратната страна на (x = (x_1, x_2)) в (g = g_1 \ times g_2) е (x^{-1} = (x_1^{-1}, x_2^{-1})), тъй като ((x_1, x_2) \ cdot (x_1^{-1}, x_2^{-1}) x_1^{-1}, x_2 \ cdot x_2^{-1}) = (e_1, e_2)), където (e_1) и (e_2) са съответно идентичността на (g_1) и (g_2). По същия начин, (y^{-1} = (y_1^{-1}, y_2^{-1})).
Сега можем да изчислим комутатора ([x, y]):
.
\ започнете {align*}
[x, y] & = x^{-1} y^{-1} xy \
& = (x_1^{-1}, x_2^{-1}) \ cdot (y_1^{-1}, y_2^{-1}) \ cdot (x_1, x_2) \ cdot (y_1, y_2) \
& = (x_1^{-1} y_1^{-1} x_1y_1, x_2^{-1} y_2^{-1} x_2y_2) \
& = ([x_1, y_1], [x_2, y_2])
\ end {align*}
]
Този резултат показва, че комутаторът на два елемента в директен продукт от две групи може да бъде изчислен компонент - мъдър. Тоест, комутаторът на два елемента в (G_1 \ Times G_2) е подредена двойка, чийто първи компонент е комутаторът на първите компоненти на оригиналните елементи в (G_1), а вторият компонент е комутаторът на вторите компоненти на оригиналните елементи в (G_2).
Обобщение на директен продукт на множество групи
Горният резултат може лесно да се обобщи към директния продукт на (n) групи (g = g_1 \ times g_2 \ times \ cdots \ times g_n). Нека (x = (x_1, x_2, \ cdots, x_n)) и (y = (y_1, y_2, \ cdots, y_n)) са два елемента на (g), където (x_i, y_i \ в g_i) за (i = 1,2, \ cdots, n). Тогава комутаторът ([x, y]) се дава от (x, y] = ([x_1, y_1], [x_2, y_2], \ cdots, [x_n, y_n])).
Примери
Пример 1: Директен продукт от две циклични групи
Нека (g_1 = \ mathbb {z} _3 = {0,1,2}) при добавяне на модул 3 и (g_2 = \ mathbb {z} _4 = {0,1,2,3}) под добавяне на модул 4. Помислете (x = (1,2)) и (y = (2,3)) в (g = g_1 \ \ times g_2).
В (\ mathbb {z} _3), (x_1 = 1), (y_1 = 2), (x_1^{-1} = 2) (тъй като (1 + 2 \ equiv0 \ pmod {3})), (y_1^{-1} = 1) (от 2 + 1 \ equiv0 \ pmod {3}). След това ([x_1, y_1] = x_1^{-1} + y_1^{-1} + x_1 + y_1 = 2 + 1 + 1 + 2 \ equiv2 \ pmod {3}).
В (\ mathbb {z} _4), (x_2 = 2), (y_2 = 3), (x_2^{-1} = 2) (тъй като (2 + 2 \ equiv0 \ pmod {4})), (y_2^{-1} = 1) (оттогава (3 + 1 \ equiv0 \ pmod {4}). След това ([x_2, y_2] = x_2^{-1} + y_2^{-1} + x_2 + y_2 = 2 + 1 + 2 + 3 \ equiv2 \ pmod {4}).
И така, ([x, y] = (2,2)) в (g_1 \ times g_2).
Пример 2: Директен продукт на симетрична група и двустранна група
Нека (G_1 = S_3) (симетричната група на степен 3) и (G_2 = D_4) (двустранната група от ред 8). Да предположим (x = ((12), r)) и (y = ((13), s)), където (12)) и ((13)) са транспониции в (S_3), (r) е въртене в (d_4), а (s) е отражение в (d_4).
В (S_3) изчисляваме ([(12), (13)] = (12)^{-1} (13)^{-1} (12) (13) = (12) (13) (12) (13) = (132)).
В (d_4) изчисляваме ([r, s] = r^{-1} s^{-1} rs). Ако знаем групата на групата на (D_4), можем да намерим специфичния елемент. След това ([x, y] = ((132), [r, s])) в (g_1 \ times g_2).
Приложения и ролята на комутаторите на пазара
Комутаторите имат многобройни приложения в електротехниката, особено в постояннотоковите двигатели и генераторите. В постоянен ток, комутаторът е механичен токоизправител, който преобразува променливия ток, индуциран в арматурните намотки в директен ток. Това гарантира, че въртящият момент, произведен от двигателя, е в същата посока, което позволява на двигателя да се върти непрекъснато.
Като доставчик на комутатор ние разбираме значението на висококачествените комутатори в тези приложения. Нашите комутатори са проектирани да отговарят на най -строгите индустриални стандарти, като гарантират надеждна ефективност и дългосрочна издръжливост. Можете да намерите повече информация за нашите комутатори на нашия уебсайтКомутатори.
Контакт за поръчки
Ако сте на пазара за висококачествени комутатори, независимо дали за изследователски цели, свързани с приложения за теория на групата или за практически инженерни проекти, ние сме тук, за да помогнем. Нашият екип от експерти може да ви предостави подробна информация за нашите продукти, включително спецификации, цени и опции за доставка. Ние се ангажираме да предоставяме отлично обслужване на клиентите и да гарантираме, че ще получите най -добрите комутатори за вашите нужди. Свържете се с нас, за да започнете дискусия за обществени поръчки и да се възползвате от нашата индустрия - водещи продукти.
ЛИТЕРАТУРА
- Dummit, DS, & Foote, RM (2004). Абстрактна алгебра. John Wiley & Sons.
- Херстейн, в (1975). Теми в алгебрата. Wiley India.
- Long, S. (2002). Алгебра. Спрингър.